En lärdomsresa startar

År 1720 blev Klingenstierna anställd vid Kungliga Kammarkollegiet i Stockholm som kanslist. Men han lämnade inte matematiken för detta. På fritiden studerade han Newton, Leibniz, Huygens, bröderna Bernoulli, l’Hospital och många fler.

_{Guillaume de l’Hospitals Analyse des Infiniment Petits (tryckt 1696) är den första läroboken om differentialkalkyl.}

Han fick också uppdrag att recensera texter i den nystartade vetenskapliga tidskriften Acta Literaria Suecia som utgavs av Bokwettsgillet i Uppsala. Detta visar att han redan hade ett gott anseende i Sveriges vetenskapliga societet.

Åter i Uppsala 1725 undervisade han troligen om den nya kalkylen på Duhres praktiskt-teoretiska skola.

År 1727 fick han det Helmfeltska resestipendiet vilket gav honom möjlighet att göra en lärdomsresa till Europas vetenskapliga centra. Han kom till Marburg och filosofen-matematikern Christian Wolffs undervisning i december 1727. Wolff hade skrivit flera läroböcker i matematik, logik och mekanik och det var många studenter från hela Europa som reste till Marburg för att inhämta Wolffs kunskaper.

_{Wolff skrev några av de första läroböckerna om differentialkalkylen. Elementa Matheseos utkom första gången 1713.}

Under tiden i Marburg skrev Klingenstierna en avhandling om tredjegradskurvor, som utveckade några av Newtons teorier från 1704. Med stöd av denna och med rekommendation från Christian Wolff blev Klingenstierna i augusti 1728 utnämnd till matematikprofessor i Uppsala efter Elof Steuch. Han tilläts att fortsätta sin lärdomsresa och hade nu också professors lön.

 
_{Stationer på Klingenstiernas resa 1727–1730. Ur Uppsala universitesbiblioteks samlingar.}

Sedan både Leibniz, Newton och Jacob Bernoulli var döda, så blev Johann Bernoulli den man vände sig till om man ville få klarhet i kalkylens mysterier. Därför var det vanligt att unga matematiker under sina lärdomsresor någon gång kom till Basel för att få undervisning av Johann Bernoulli. Klingenstierna anlände i september 1728, bara några veckor efter att han hade utnämnts till professor.

Johann Bernoulli skriver i ett brev till Johann Jakob Scheuchzer i slutet av oktober 1728.

_{”För närvarande är matematikprofessorn i Uppsala M. v.
Klingenstierna här för studier hos mig. Han har kommit
så långt ifrån, bara för att nyttja mitt svaga ljus ehuru,
för att säga sanningen, så förstår han sig redan utmärkt
på den sublimaste geometrien, så att jag inte vet om ryktet
har ljugit om mig som har lockat honom hit från hans
nordliga land.”}

Men Klingenstierna hade verkligen nytta av sin tid i Johann Bernoullis vård. En stor del av hans manuskript härör från tiden i Basel. Flera är avskrifter av Bernoullis skrifter. Han har också fått uppgifter att lösa av Bernoulli. Som lärare har sedan Bernoulli rättat i Klingenstiernas manuskript.

_{Manuskriptet beskriver en kropps rörelse i en vätska under speciella förutsättningar. Vi kan se hur Johann Bernoulli har gjort rättelser i Klingenstiernas text, speciellt på den andra och tredje sidan.}

Många av de problem Klingenstierna brottades med handlar om en kropps rörelse i t.ex. en vätska som gör motstånd till rörelsen. Det leder ofta till problem inom den s.k. variationskalkylen. Ett vanligt problem i differentialkalkyl är att finna max- och minvärden till en given funktion (eller kurva). I variationskalkylen söker man istället en funktion (eller kurva) som har givna max- och minpunkter.

Det s.k. brakystokronproblemet är ett rörelseproblem som lösts tidigare för rörelse i vakuum. Det väckte en viss uppmärksamhet att Klingenstierna i Basel löste problemet, men nu med förutsättningen att kroppen skulle falla i en vätska eller liknande, som skulle ge motstånd mot rörelsen.

Några år efter Klingenstierna löste också Euler det utökade brakystokronproblemet.

Viktigt för Klingenstierna under hans besök i Basel var också hans möte med andra matematiker, speciellt Johanns brorson Nikolaus Bernoulli. Klingenstiernas mer engelskvänliga kontakter förde honom senare till London. Efter sex månader i Basel for han emellertid först vidare till Paris.

Brakystokronproblemet gavs som en utmaning till matematiker runt Europa år 1696 av Johann Bernoulli. Problemet handlar om att finna den snabbaste vägen för en kropp att falla från en punkt till en annan punkt på en lägre nivå. I det ursprungliga problemet var tyngdkraften den enda kraft som påverkar kroppen. Bl.a. Jacob Bernoulli, l’Hospital och Leibniz lämnade in lösningar. Newton lämnade in anonymt. Om denna lösning lär Johann Bernoulli ha sagt: ”Man känner igen lejonet på dess klor!”. Lösningskurvan är en s.k. cykloidkurva.

Den nya förutsättningen i Klingenstiernas problem var att även vätskans motståndskraft påverkade rörelsen hos kroppen. Lösningen kunde då ges som en differentialekvation vars utseende berodde på om motståndskraften sattes som proportionell mot hastigheten, hastigheten i kvadrat eller en högre potens av hastigheten.

Klingenstierna kom till Paris ca 1 april 1729. Hans första kontakt verkar ha varit med den schweiziske matematikern Gabriel Cramer (1704–1752), som också var på lärdomsresa i Europa. Cramer hade varit fem månader hos Johann Bernoulli och därefter flera år i London. Nu hade han blivit matematikprofessor i Genève.

I ett senare brev till Cramer hänvisar Klingenstierna till tidigare diskussioner de haft om geometri och serier. Han visar också att summan av de inverterade värdena av heltalskvadraterna kan skrivas som en integral på följande sätt: 

 om x = 1.

Han säger sig inte kunna lösa integralen.

Euler löste problemet senare, men det skedde inte med elementära metoder.
Summan är .

I brevet påpekar Klingenstierna också att matematiken är långtråkig under denna tid. Troligen hade han inte så mycket kontakt med de franska matematikerna. Det berättas, enligt Strömer i åminnelsetalet, i alla fall om ett möte med Bernhard Fontenelle (1657–1757), sekreteraren i Franska Vetenskapsakademien. Fontenelle påstår i en av sina böcker att infinitesimalen var något visst och förutbestämt, som kan erhållas genom delning.

Klingenstierna argumenterar emot detta. Han tänkte sig en romb, på vilken han förband mittpunkterna på varje sida. Då bildas en rektangel. Genom att förbinda mittpunkterna på varje sida på rektangeln bildas åter en romb. Processen fortsätter. Frågan blir: Är infinitesimalen en romb eller en rektangel? Den är knappast förutbestämd, påstod Klingenstierna. Fontenelle lär ha hållit med om detta.

Klingenstierna lämnade Paris omkring 1 juli 1729 för vidare färd till London.

Två böcker om oändliga serier väntade på utgivning 1730 i London. Författarna var James Stirling (1692–1770) och Abraham de Moivre (1667–1754).

James Stirling var en skotsk matematiker. Hans bok hette Methodus Differentialis: sive Tractatus de Summatione et interpolatione Serierum Infinitarum. I den finner vi bl.a. den s.k. Stirlings formel för beräkning av fakulteten n!.

Abraham De Moivre föddes i Frankrike. Han tvingades fly från sitt hemland på 1680-talet sedan det s.k. Ediktet i Nantes, som gav religionsfrihet till hugenotterna, återtagits.
Han sysslade med många områden inom matematiken. Han utvecklade bl.a. sannolikhetsteorin genom boken Doctrine of Chance 1718. Vi känner namnet De Moivres formel från likheten .

Hans bok om serier heter Miscellanea Analytica. Klingenstiernas namn finns med på en lista över få utländska köpare av denna boks första upplaga.

Klingenstierna sysslade också med serier i London, men detta var en gren av matematiken som han mött redan hos Bernoulli i Basel. Ett känt resultat som han har gett namn åt är Klingenstiernas arctangensserie (eller π-serie). Den återfinns i ett manuskript daterat ”Londini d. 7. Aprilis 1730”. Serien är (utskriven i modern form):

Egentligen är Robert Simson (1687–1768), professor i Glasgow, den förste som fann denna serie. Så det vore mer realistiskt att ge Klingenstiernas namn till en annan π-serie, som länge har legat oupptäckt i ett av hans odaterade manuskript.

_{Klingenstiernas arctangensserie (eller π-serie).}

Klingenstierna blev medlem av Royal Society 1730 och året efter hade han en artikel i deras handlingar Philosophical Transactions. Artikeln behandlar en allmän lösning till integraler av vissa rationella funktioner, där nämnaren inte kan faktoriseras.

Klingenstierna lämnade troligen London i slutet av sommaren 1730. Han är tillbaka i Uppsala i oktober samma år.