Det oändligt lilla
I slutet av 1600-talet skedde en revolution inom matematiken. Man hade länge försökt förstå sambanden mellan talen och geometriska objekt som linjer, plana figurer och kroppar. Det skulle vara möjligt att mäta längder, areor och volymer. Men det måste alltid finnas en enhet att mäta med. Ibland går det inte. Det sägs att den av Pythagoras lärjungar, som på 400-talet f.Kr. upptäckte att längden av diagonalen i en kvadrat inte var mätbar, blev dränkt i havet. En sådan fruktansvärd nyhet fick inte föras vidare.
Det var svårt att förstå oändligheten eller snarare det oändligt lilla, det som är mindre än allt som vi kan tänka oss, men ändå är större än intet. Man kunde tänka sig att dela en sträcka ändligt många gånger, hur många gånger som helst, men inte oändligt många gånger, då det blir oändligt litet. Newton och Leibniz lyckades bygga upp teorier för det oändligt lilla, den s.k. infinitesimalen.
Newtons fluxionsteori
Newton betraktade kurvor som banor för en rörlig punkt. Rörelsen är beroende av tiden. En storhet som varierar under rörelsen (exempelvis x) kallade Newton fluent. Hastigheten med vilken fluenten rör sig kallade han fluxion. Den markeras med en prick som ẋ. Under den oändligt korta tiden o rör sig då punkten ẋo. Lite hur Newton tänkte sig räkningarna kan man se i hans Method of Fluxions, som utkom först 9 år efter hans död. Se speciellt paragraferna 13–18 på kopian här nedan.
Leibniz differentialkalkyl
Leibniz betraktade kurvorna som de var. Differentialerna dx eller dy är oändligt små ändringar av värdena på variablerna x och y.
Likheter som kunde förbrylla är x + dx = x och y + dy = y. Likhetstecknet får tydligen en ny betydelse tillsammans med differentialer.
Guillaume de l’Hospitals Analyse des Infiniment Petits (tryckt 1696) är den första läroboken om differentialkalkyl. I bokens första bild är Ap = x, PM = pR = y, Pp = MR = dxoch mR = dy. Kritiken var stor. Kan man verkligen se något som är oändligt litet?